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Fraktale

Was sind Fraktale?

Der Grundgedanke der fraktalen Geometrie ist die Selbstähnlichkeit. Ein Objekt ist selbstähnlich, wenn es in kleinere Kopien seinerselbst zerlegt werden kann. Selbstähnlichkeit bedeutet also, daß die Struktur des Ganzen in seinen Teilen enthalten ist.
So werden z. B. Strecken, Quadrate und Würfel ausgemessen, indem man sie in ähnliche kleine Einheiten, beispielsweise von der Größe eines Zentimeters, Quadratzentimeters und Kubikzentimeters unterteilt. Diese kleineren Einheiten sind dem Ganzen ähnlich und haben die gleichen Maßeinheiten.
Die Grundbausteine (gerade Strecken, Quadrate und Würfel) können also zusammengefügt werden, um das "Maß" des Ganzen zu ergeben.

Der Schwarze Milzfarn macht die Selbstähnlichkeit besonders anschaulich deutlich.
Allerdings sehen selbst starke Vergrößerungen natürlicher Formen, etwa Küstenlinien, Pflanzenbeete und Wolken nicht glatt aus und lassen sich nicht auf die üblichen Grundbausteine zurückführen. Stattdessen weisen sie bei stärksten Vergrößerungen die gleiche Unregelmäßigkeit, die auch im Großen vorliegt, auf. Deshalb können solche komplexen Objekte, die sogenannten Fraktale, nicht mit der euklidischen ("normalen") Geometrie gemessen werden.
Eine fraktale Linie hat keine messbare Länge, da sie, je genauer man hinsieht, immer länger wird.

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Mandelbrot- und Juliamengen

Die Mandelbrotmenge
Die Mandelbrot- und Juliamengen heißen so, weil ihre Entdecker Benoit Mandelbrot und Caston Julia hießen.

x_n+1 = x_n² + c

In diese Formel werden komplexe Zahlen als Ausgangswerte eingesetzt. Würde die Iteration endlos fortgesetzt werden, erhielte man unendlich große Ergebnisse. Bei manchen Zahlen läuft die Iteration jedoch auf einen oder mehrere Grenzwerte zu und bleibt dort stehen. Die Menge aller komplexen Zahlen, auf die das zutrifft, nennt man Mandelbrot- bzw. Juliamenge. Die Mandelbrotmenge entsteht, wenn man X₀=0 setzt und C variiert und die Juliamenge, wenn man C=(-1) setzt und X₀ variiert.
Die schönen Bilder entstehen, wenn man die Mengen in der Gaußschen Zahlenebene darstellt. Das ist ein Koordinatensystem, dessen Y-Achse den imaginären und dessen X-Achse den reellen Anteil der Zahlen darstellt, so das jeder Punkt im Koordinatensystem einer komplexen Zahl entspricht. Die Färbung kann beispielsweise durch Zählen der Iterationen bis zum Überschreiten eines bestimmten Betrages erfolgen. Je nach Zählstand wird dann eine Farbe zugeordnet.
Die Randkurve der dargestellten Mengen verlaufen in einem deterministischen (berechenbaren) Chaos. Zwischen zwei beliebigen Punkten hat sie immer noch unendlich viele Windungen und Schnittpunkte mit sich selbst. Das bedeutet, das man unendlich in die Menge hineinzoomen kann. Dabei stößt man auf chaotische und auch sehr ästethische Formen und Gebilde. Auch die Selbstähnlichkeit wird deutlich: Beim hineinzoomen stößt man immer wieder auf ein verkleinertes Abbild der Gesamtmengen.

Hier ein Beispiel: Zoom in die Mandelbrotmenge

Wie ihr vielleicht schon bemerkt habt, ist auch das Hintergrundbild dieser Seite ein Fraktal aus der Mandelbrotmenge. Wenn ihr Lust auf mehr Bilder habt, dann seht euch unsere Fraktalgalerie an.

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Komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen setzen sich aus reellen und imaginären Zahlen zusammen:

z = a + bi, wobei a und b reelle ("normale") Zahlen sind und i den Imaginärteil darstellt.

I² = -1, was bedeutet das bei imaginären Zahlen die Wurzel aus -1 definiert ist.

Iteration

Als Iteration bezeichnet man die ständige Wiederholung eines mathematischen Verfahrens, um ein Ergebnis mit möglichst hoher Genauigkeit zu erzielen. Das heißt, dass das Ergebnis einer Gleichung wider in die Gleichung eingesetzt wird. Das daraus resultierende Ergebnis wird widerrum in die Gleichung eingesetzt usw.